昨天，有关试证黎曼猜想的新研究又一次引爆了数学圈。
MIT 数学教授 Larry Guth 和牛津大学数学研究所教授、2022 菲尔兹奖得主 James Maynard 撰写论文《New large value estimates for Dirichlet polynomials》，首次对数学家 Albert Ingham 在 1940 年左右关于黎曼 ζ 函数零点（以及更广泛地控制各种 Dirichlet 级数的大值）的经典界限做出了实质性改进。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.20552
对于 Guth 和 Maynard 的新突破，知名华裔数学家陶哲轩评价道：「他们在研究黎曼猜想方面取得了重要进展，尽管离解决这一历史悠久的数学问题还有很长的路要走 。」
今天，两位论文作者 Larry Guth 和 James Maynard 分别做了主题为《狄利克雷多项式大值的新界限，第一部分》以及《狄利克雷多项式大值的新界限，第二部分》的讲座。
狄利克雷多项式界限在与素数分布相关的几个问题中发挥重要作用，它们可以用来限制黎曼 zeta 函数在垂直条带中的零点数量，这与短间隔内的素数分布有关。狄利克雷多项式可以表示为：
主要问题在于 D (t) 超水平集的大小。作者进行归一化，使得系数范数最多为 1，然后研究超水平集 | D (t)| > N^\sigma，其中 sigma 指数介于 1/2 和 1 之间。
其中对于较大的 sigma 值，数学家 Montgomery 证明了该超水平集具有非常强的界限。但对于 sigma \le 3/4，最知名的界限来自非常简单的正交性论证（而且这些界限似乎并不尖锐）。作者将已知的 sigma 界限改进到接近 3/4，相关工作正在进行中。
James Maynard 讲座介绍
讲座一开始，James Maynard 引用了 Freeman Dyson 的著名比喻，将数学家分为鸟和青蛙。鸟喜欢从高处俯瞰全局，思考宏观的数学结构；青蛙则喜欢深入具体的细节，解决具体的问题。Maynard 自认是一只青蛙，更注重细节问题的解决。
在演讲中，Maynard 主要介绍了他和 Larry 共同研究成果，特别是关于 Dirichlet 多项式的大值问题。这些研究在解析数论中具有重要意义。
Maynard 希望通过这次演讲，更好的展示他们的研究结果、这些结果如何融入解析数论的整体背景，以及一些关键的证明思路。
为了将晦涩难懂的数学问题解释的更加清楚，Maynard 采用板书的形式进行讲解，并写下了满屏的推导公式：
整场演讲长达 1 小时 12 分，内容输出非常密集。著名数学家陶哲轩简单明了的概括了这次研究的新进展， 解释了从黎曼猜想到当前最新进展的逻辑推导链条，展示了每个假设和估计之间的关系及其在解析数论中的重要性。
James Maynard 完整视频参见如下：
Larry Guth 讲座介绍
Larry Guth 表示， James Maynard 的第一部分讲座介绍了狄利克雷多项式的问题、工作以及关键思想。他此次讲座将进一步剖析证明过程，包括解释问题的背景、证明的细节。
他首先描述了问题的设置，即分析狄利克雷多项式大值的新界限，狄利克雷多项式范数在特定集合上的大小，并讨论了已有的简单估计方法（如均值定理）及它们的局限性。
然后他介绍了自己工作提出的新定理，提出在某些参数范围内对原有估计进行了改进。此外他还展示了近似反例的存在，证明了简单估计方法的局限性，并讨论了特定情况下可能存在的精确转变点。
接下来，他讨论了在处理狄利克雷多项式问题时所使用的工具，并指出这些工具无法区分近似反例和原始问题的设定。他对比了两种不同的频率设置，探讨了每个设置的特点。通过分析低能量和高能量两种情况，他展示了如何使用矩阵的奇异值和牛津大学著名数学家 Heath-Brown 的工作来获得更好的估计结果。
其中在低能量情况下，他强调了傅里叶变换的使用和能量的定义；在高能量情况下，他则利用加法结构来改进估计。最后，他总结了这些方法的有效性。
Larry Guth 完整视频参见如下：
辅助工具：ChatGPT