二、证明等式（3.16）：a ^ {\log_b c} = c ^ {\log_b a}。
文心一言：
chatgpt：
我们需要证明的等式为： a log b c = c log b a a^{\log_b c} = c^{\log_b a} alogbc=clogba。
首先，将 log b c \log_b c logbc 看作一个变量 x x x，那么原式可表示为 a x = c log a b log a c a^x = c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}} ax=clogaclogab。
然后，我们将 c log a b log a c c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}} clogaclogab 进一步拆分，得到：
c log a b log a c = c log c b = b \begin{aligned} c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}} &= c^{\log_c b} \\ &= b \end{aligned} clogaclogab=clogcb=b
最后，将上述结果代入原式中，有：
a log b c = a x = c log a b log a c = b log c b = c log b a \begin{aligned} a^{\log_b c} &= a^x \\ &= c^{\frac{\log_a b}{\log_a c}} \\ &= b^{\log_c b} \\ &= c^{\log_b a} \end{aligned} alogbc=ax=clogaclogab=blogcb=clogba
因此，我们证明了等式 a log b c = c log b a a^{\log_b c} = c^{\log_b a} alogbc=clogba 成立。
三、证明等式（3.19）：\lg(n!) = \Theta(n \lg n)。并证明 n! = \omega(2 ^ n) 且 n! = o(n^n)。
文心一言：
chatgpt：
首先，我们证明等式 lg ( n ! ) = Θ ( n lg n ) \lg(n!) = \Theta(n \lg n) lg(n!)=Θ(nlgn)。
由斯特林公式（Stirling’s formula），可得：
ln n ! = n ln n − n + O ( ln n ) \ln n! = n \ln n - n + \mathcal{O}(\ln n) lnn!=nlnn−n+O(lnn)
两边同时取以 2 为底的对数，则有：
log 2 n ! = ln n ! ln 2 = n ln n − n + O ( ln n ) ln 2 = n ln n ln 2 − n ln 2 + O ( ln n ln 2 ) \begin{aligned} \log_2 n! &= \frac{\ln n!}{\ln 2} \\ &= \frac{n \ln n - n + \mathcal{O}(\ln n)}{\ln 2} \\ &= n \frac{\ln n}{\ln 2} - \frac{n}{\ln 2} + \mathcal{O}\left(\frac{\ln n}{\ln 2}\right) \end{aligned} log2n!=ln2lnn!=ln2nlnn−n+O(lnn)=nln2lnn−ln2n+O(ln2lnn)
因为 ln n ln 2 \frac{\ln n}{\ln 2} ln2lnn 等于 Θ ( log n ) \Theta(\log n) Θ(logn)，所以可得：
log 2 n ! = Θ ( n log n ) \log_2 n! = \Theta(n \log n) log2n!=Θ(nlogn)
因此， lg ( n ! ) = Θ ( n lg n ) \lg(n!) = \Theta(n \lg n) lg(n!)=Θ(nlgn) 得证。
接下来，我们证明 n ! = ω ( 2 n ) n! = \omega(2^n) n!=ω(2n)。根据定义，需要证明：
lim n → ∞ n ! 2 n = ∞ \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{2^n} = \infty n→∞lim2nn!=∞
考虑到：
( n + 1 ) ! n ! = n + 1 > 2 \begin{aligned} \frac{(n + 1)!}{n!} &= n + 1 \\ &> 2 \end{aligned} n!(n+1)!=n+1>2
因此， n ! n! n! 至少每乘以 2 次就要增长一倍，即：
n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n > 2 × 2 × 2 × ⋯ × 2 = 2 n \begin{aligned} n! &= 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \\ &> 2 \times 2 \times 2 \times \cdots \times 2 \\ &= 2^n \end{aligned} n!=1×2×3×⋯×n>2×2×2×⋯×2=2n
因此， n ! = ω ( 2 n ) n! = \omega(2^n) n!=ω(2n) 成立。
最后，我们证明 n ! = o ( n n ) n! = o(n^n) n!=o(nn)。根据定义，需要证明：
lim n → ∞ n ! n n = 0 \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n} = 0 n→∞limnnn!=0
将 n ! n! n! 展开，则有：
n ! = 1 × 2 × 3 × ⋯ × n < n × n × n × ⋯ × n = n n \begin{aligned} n! &= 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times n \\ &< n \times n \times n \times \cdots \times n \\ &= n^n \end{aligned} n!=1×2×3×⋯×n<n×n×n×⋯×n=nn
因此， n ! n n < 1 \frac{n!}{n^n} < 1 nnn!<1，即 n ! n n → 0 \frac{n!}{n^n} \to 0 nnn!→0 当 n → ∞ n \to \infty n→∞。因此， n ! = o ( n n ) n! = o(n^n) n!=o(nn) 成立。
综上所述，我们证明了等式 lg ( n ! ) = Θ ( n lg n ) \lg(n!) = \Theta(n \lg n) lg(n!)=Θ(nlgn)，以及 n ! = ω ( 2 n ) n! = \omega(2^n) n!=ω(2n) 和 n ! = o ( n n ) n! = o(n^n) n!=o(nn)。