Stable Diffusion的数学原理
Stable Diffusion是一种深度学习模型，用于生成和操作图像。它主要基于变分自编码器（Variational Autoencoders, VAEs）和扩散模型（Diffusion Models）的结合。下面是这些关键概念的详细解释：
变分自编码器（VAEs）
变分自编码器是一种生成模型，用于学习输入数据的潜在表示。VAE包括两部分：编码器和解码器。
编码器（Encoder）：将输入数据映射到一个潜在空间（latent space）。映射过程可以表示为：
q ϕ ( z ∣ x ) q_\phi(z|x) qϕ(z∣x)
其中， x x x是输入数据， z z z是潜在表示， ϕ \phi ϕ是编码器的参数。
解码器（Decoder）：将潜在空间的表示映射回数据空间，尝试重构输入。公式如下：
p θ ( x ∣ z ) p_\theta(x|z) pθ(x∣z)
其中， θ \theta θ是解码器的参数。
VAE的目标是最大化输入数据的对数似然的下界（ELBO, Evidence Lower BOund）：
log p ( x ) ≥ E q ϕ ( z ∣ x ) [ log p θ ( x ∣ z ) ] − D K L ( q ϕ ( z ∣ x ) ∣ ∣ p ( z ) ) \log p(x) \geq \mathbb{E}_{q_\phi(z|x)}[\log p_\theta(x|z)] - D_{KL}(q_\phi(z|x) || p(z)) logp(x)≥Eqϕ(z∣x)[logpθ(x∣z)]−DKL(qϕ(z∣x)∣∣p(z))
这里， D K L D_{KL} DKL是KL散度，一种衡量两个概率分布差异的方法。
扩散模型（Diffusion Models）
扩散模型是一种逐步将数据从其原始状态转化为无序状态，然后再逆转这个过程以生成数据的模型。其基本步骤如下：
正向过程（Forward process）：这是一个马尔可夫链过程，逐渐在数据上增加噪声，直到数据完全转化为噪声。
q ( x t ∣ x t − 1 ) = N ( x t ; 1 − β t x t − 1 , β t I ) q(x_t|x_{t-1}) = \mathcal{N}(x_t; \sqrt{1-\beta_t}x_{t-1}, \beta_t I) q(xt∣xt−1)=N(xt;1−βt xt−1,βtI)
逆向过程（Reverse process）：这是正向过程的逆过程，从噪声中重构出原始数据。
p θ ( x t − 1 ∣ x t ) p_\theta(x_{t-1}|x_t) pθ(xt−1∣xt)
模型的训练目标是最小化原始数据和重构数据之间的差异。