Lean Copilot，让陶哲轩等众多数学家赞不绝口的这个形式化数学工具，又有超强进化了？
就在刚刚，加州理工教授Anima Anandkumar宣布，团队发布了Lean Copilot论文的扩展版本，并且更新了代码库。
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论文地址：https://arxiv.org/pdf/2404.12534.pdf
最新实验表明，这个Copilot工具，可以自动化80%以上的数学证明步骤了！这个纪录，比以前的基线aesop还要好2.3倍。
并且，和以前一样，它在MIT许可下是开源的。
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而对此做出巨大贡献的，是一位华人小哥宋沛洋，他是UCSB的荣誉CS本科生，加州理工学院计算+数学科学（CMS）系的SURF研究员。
网友惊呼：所以，陶哲轩现在的数学研究可以原地加速5倍了？
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LLM提出证明策略，人类无缝干预
团队就发布了这个Lean Copilot的工具，希望启动人类和LLM的协作，编写出100%准确的形式化数学证明。
它解决了一个核心技术挑战：在Lean中运行LLM的推理。
通过这个工具，我们就可以让LLM在Lean中提出证明策略，允许人类以无缝的方式干预和修改。
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之所以开发这个项目，是因为自动化定理证明在如今仍是一项艰巨的挑战。
我们都知道，LLM在做数学和推理任务时，时常会犯错误、产生幻觉，十分不可靠。
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因此，到目前为止，数学证明大多是手动推导的，需要仔细验证。
像Lean这的定理证明工具，倒是可以形式化证明过程的每一步，但人类编写起Lean，着实很费力。
在这种情况下，Lean Copilot的诞生就显得意义重大。
让陶哲轩多次震惊的神器：数学家还不会用就完蛋了
LLM可以作为辅助人类证明定理的工具，这一论点已经被陶哲轩多次证实了。
他前脚刚在博客里预测，26年AI将和搜索、符号数学工具结合，成为数学研究中值得信赖的合著者。
紧接着，佐证他观点的研究就如雨后春笋一般源源不断地冒出来。
去年6月，加州理工、英伟达、MIT等机构的学者，就构建了一个基于开源LLM的定理证明器LeanDojo。
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9月，微软亚洲研究院、北大、北航等机构的研究人员，通过97个回合的「苏格拉底式」严格推理，成功让GPT-4得出了「P≠NP」的结论，破解了这个千禧年难题。
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在第97轮对话中，GPT-4得出结论，证明示例在没有穷举法的情况下无法求解，证明了结论为P≠NP
去年10月，陶哲轩在GPT-4、Copilot的帮助下，直接发现了自己论文中的一处隐藏bug。
在用Lean4形式化第6页论点的过程中发现，他发现表达式
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在n=3,k=2时，实际上是发散的。
这个不太容易看出的bug能被及时捉住，多亏了Lean4。原因是，Lean要求他构建0<n−3，但陶哲轩只假设了n>2。由此，Lean无法基于负的0<n−3得到反证。
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这一发现直接让陶哲轩瞳孔震惊。
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而在去年年底，陶哲轩直接成功地用AI工具，完成了形式化多项式Freiman-Ruzsa猜想证明过程的工作。
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最后，依赖关系图已经完全被绿色所覆盖，Lean编译器也报告说，这个猜想完全遵循标准公理。
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在这个过程中，所有最前线的数学研究者，都在第一时间感受到了AI对于数学研究颠覆力量的直接冲击。
Lean Coilot，让Lean更好用
而今天，Lean Copilot的这项研究，让Lean直接变得更强大了。
在这篇论文中，团队基于Lean Copilot构建了一些工具，用于建议证明步骤（策略建议）、完成中间证明目标（证明搜索）和使用LLM选择相关前提（前提选择）。
实验结果也充分表明了，跟Lean中现有的基于规则的证明自动化相比，Lean Copilot在辅助人类自动化定理证明上，是有效的。
Lean Copilot提供了一个通用框架，可以通过CTranslate 2在本地，或者在服务器上运行LLM的推理。
通过这个框架，用户就能创建各种自动化证明工具。
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Lean是一个在数学家中很受欢迎的证明助手。如下图所示，Lean中的一个证明，是由一系列被称为策略（tactics）的证明步骤组成。
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从整个定理开始作为初始目标，策略反复地将当前的目标转化为更简单的子目标，直到所有目标都被解决。
用户在由VSCode驱动的IDE中交互编写策略，在右边的infoview面板中显示目标。
生成策略建议
利用Lean Copilot，团队构建出了suggest_tropics，一种用LLM生成策略建议的工具。
而它本身，也是一种策略。
应用时，它将当前目标输入LLM，并且从LLM获取生成的策略候列表。
它会查看每个选项，看它们是否会 1）导致错误；2）结果没有错，但不能完成证明；3）顺利完成证明。
如果是1），这个策略就会被删除。
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只有无错误的策略，才会显示在右边的视图面板中。
其中，成功完成证明的策略，使用绿色标记（类别3）；没有错误改变证明目标，但未完成证明的策略，使用蓝色标记（类别2）。
注意！当所有列出的策略都属于类别2时，这个信息对于用户来说，可能极有价值。
在这种情况下，剩余目标的信息，可以直接帮助用户选择策略，作为下一个中间证明步骤。
看到建议后，用户可以选择是否接受，或使用它们作为灵感来源，制定新策略。
比如，我们在Lean代码中定义了一个定理add_abc，它的初始目标如图3右所示。
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当我们输入suggest_tropics时，会在右边看到策略建议。
第一个策略显示为绿色，表示证明已成功完成。
接下来三个建议均为蓝色，这就表明无法直接完成证明，但不会导致错误。
因而，它们很有可能是有效的中间证明步骤！
同时，剩余子目标也显示了出来。
而Tactic state字段显示No goal，是因为至少有一个策略建议可以被证明。
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搜索完整证明
此外，因为人类和机器都不能始终如一地产生正确的策略，因此在这个过程中必须回溯、探索不同的替代方案，这个过程就是证明搜索。
当是上面所说的Suggest_tropics，仅能生成当前步骤的策略，不具备搜索多策略证明的能力。
为此，团队将其与基于规则的证明搜索工具aesop结合起来，构建了一个基于LLM的证明搜索工具。
Aesop会将最佳优先搜索作为Lean的策略实施，并且允许用户配置搜索树的扩展方式。
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搜索树是由作为节点的目标组成。
起初，它只有原始目标作为根节点。在每一步中，aesop都会选择最有希望的未扩展节点，通过应用策略对其扩展，将生成的节点添加为子节点。
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而当aesop找到一条从根源到可轻松解决的目标的路径，就证明搜索成功了！
因此，aesop的性能关键取决于用户是否配置了有效的规则集。
这就可以看出，aesop缺乏灵活性。因此，Search_proof通过在每一步中由suggest_tropics生成的目标相关策略，来增强aesop的规则集，让它变得更加灵活。
对于图3中的原始目标，用户只需输入search_prrof，找到可以解决目标的完整证明，就显示在了信息视图中（图5右）。
可以看到，由于发现了成功的证据，所以剩余的Tactic state是No goals。
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选择注释好的前提
此外，定理证明中另一项具有挑战性的重要任务是，找到减少或完成证明的相关前提。
除了源码库和标准库中有大量前提，Lean还有一个大型数学库（Mathlib）。
然而，从所有库中搜索候选前提，极其困难且耗时耗力。
所以许多人都试图，能在Lean，或其他的证明助手中得到辅助，或自动完成这一过程。
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在Lean中，最先进的前提选择方法是，直接在Lean中实现的基于随机森林（random forest）的框架。
然而，前提选择任务非常适合检索增强型LLM，即在大模型训练期间训练检索矩阵（前提嵌入），以估计证明目标与候选前提之间的相关性。
给定推理时的证明目标，首先将目标编码成一个向量，然后在前提嵌入和目标向量之间执行矩阵向量乘法。
然后，为了选择前k个前提（其中k可以是一个超参数，决定用户想要返回多少个前提），这时只需返回得分最高的k个前提。
而要在Lean中执行推理任务，除了Lean Copilot提供的快速推理外，还需要一个高效的矩阵乘法库和一个C++的numpy矩阵阅读器。
研究人员采用了来自CTranslate2的矩阵乘法函数，和来自Libnpy的C++快速numpy文件阅读器。
他们再次通过FFI机制，将这些数链接到Lean。
因此，前提选择的策略可以非常高效地运行，因为前提嵌入可以预先计算，所有后续操作都可以使用上文介绍的库在C++中快速完成。
在获得返回的前提后，研究者进一步用有用的信息对其进行注释。
这里将所有前提所分为两类：可直接在当前环境中使用的前提（范围内前提）和不可直接在当前环境中使用的前提（范围外前提）。
这取决于是否导入了所需的软件包。
如果已经导入了前提所需的包，则可以轻松使用该前提。如下图6显示了带注释的范围内前提。
图7所示是带注释的范围外前提。
下面举个使用「前提选择」的例子，对于图3中的定理add_abc，可以直接在证明中输入select_premises（图8左）。
然后，相关前提的列表，就会出现在信息视图中（图8右）。
对于这个简单的定理，可以清晰看到所选的前提确实相关，因为它们都与自然数和加法规则有关。
在这种情况下，所选的4个前提都在当前范围内，这意味着它们的模块已经导入。
如上，便是研究人员通过Lean Copilot构建的三个实用的证明自动化工具，用于策略建议、搜索证明和前提选择。
81.2%的证明步骤，全都自动化了
通过Lean Copilot框架，研究人员凭经验提出了假设——在Lean交互式定理证明（ITP）中进行人机协作是有益的。
由于Lean中的定理证明过程，主要以策略证明为主。
因此，在具体实验中，作者主要评估了用于「策略建议」，以及「证明搜索」的证明自动化工具。
总而言之，aesop是当前是一种用于证明搜索，最先进的基于规则的证明自动化工具。
研究人员在两种情况下，验证了基于LLM的搜索证明与aesop相比的有效性：
（1）自主证明定理（LLM独立完成）
（2）协助人类进行定理证明（人类与AI协作）
此外，研究者还将搜索证明与策略建议进行了比较，以证明除了单一策略建议之外，搜索证明体现的优势。
研究Lean Copilot如何有效地帮助人类进行ITP的过程，类似于人类在软件编程中使用Copilot的范式。
也就是说，当我们面对一个目标时，首先会调用Copilot，看其是否可以直接解决问题。
如果不能，我们会进一步简化目标，然后再次尝试Copilot。然后，一直重复上述过程，直至Copilot成功解决剩余目标。
而研究人员便是通过这样的迭代协作范例中，去查看每个证明自动化工具可以自动化多少人力。
具体结果，如下表1显示。
证明搜索（search_proof）可以自动证明64%的定理（50个中的32个），明显高于aesop和策略建议（suggest_tropics）。
当用于辅助人类时， 证明搜索仅需要平均1.02个手动输入策略，这也比aesop（3.62）和策略建议（2.72）更好。
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最后，对于每个测试的定理，作者计算了三个工具中每一个可以自动化的证明步骤的百分比。
结果发现，证明搜索可以自动完成定理中约81.2%的证明步骤，明显高于策略建议（48.6%）和aesop（35.2%）。
总之，证明搜索的性能比策略建议，要高出1.67倍，比基于规则的基线aesop高2.31倍。
通过Copilot在Lean中进行本地LLM推理
Lean Copilot中的tactic建议、证明搜索和前提选择，这三个任务在本质上可能看起来不同，但对于用户体验的要求是相似的。
它们都需要足够快速地生成响应，具有适中的计算需求，同时在Lean中运行。
用户之所以有这些要求，是因为Lean本身在大多数情况下都能非常快速地提供环境反馈（比如剩余目标，错误信息，类型信息等）。
这种快速，跟证明定理的本质是一致的——它需要连贯的推理。
如果Lean Copilot需要用户等待很长一段时间，那么人类和AI之间的协作就很难发挥作用。
同样，我们也非常希望满足低计算的需求。因为Lean中的定理证明本身不需要GPU，可以在用户本地的笔记本电脑上运行。
因此，能够在大多数硬件（包括没有GPU的笔记本电脑）上高效运行，对于Lean的用户就非常重要。
因为用户在编写证明时，可能无法访问支持CUDA的GPU。
因为需要满足快速推理和低计算需求，而且所有流行的高效深度学习框架都是在Python中，团队想到的一个自然的解决方案，就是在Python中托管模型(本地或远程)，然后从Lean向模型发出请求。
然而，这种方法会受到进程间通信的开销的影响，并且它需要用户执行额外的设置步骤，并不适合Lean的传统工作流程。
为了克服这些问题，Lean Copilot通过外部功能接口(FFI)在Lean中本地运行LLM。
FFI是一种机制，可以用一种语言编写的程序调用另一种语言的子程序。
Lean部分用c++实现，可以与c++高效互操作。
程序员可以在Lean中声明一个函数，但在c++中实现函数体。实现会被编译到一个共享库中，并动态链接到Lean。
默认情况下，我们采用的是LeanDojo预训练的repver模型。它基于一个编码器-解码器转换器，BVT5，它将输入字符串映射到输出字符串。
Lean Copilot通过将模型包装成一个对字符串操作的c++函数，使其在Lean中可运行，该函数可以通过FFI在精益中调用。
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华人作者立大功
最新论文中的三人团队，也是23年6月开源平台LeanDojo其中的作者。
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论文地址：https://arxiv.org/pdf/2306.15626.pdf
Peiyang Song（宋沛洋）
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宋沛洋是加州大学圣巴巴拉分校创意研究学院（CCS）的计算机科学荣誉本科生，导师是Richert Wang和Phill Conrad 。
与此同时，他还是加州理工学院计算与数学科学系（CMS）的SURF研究员，由Anima Anandkumar教授和Kaiyu Yang博士共同指导。
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另外，他还是UC伯克利建筑实验室的研究员，与Tim Sherwood和Dr. Jeremy Lau（谷歌）一起合作。
他的研究兴趣是机器学习（ML），涉及自然语言处理（NLP）和计算机视觉（CV）等应用领域，以及系统和编程语言（PL）等基础理论。
宋沛洋最近的研究主要有两个方向。
一是神经符号推理和人工智能数学（AI4Math），将大模型与交互式定理证明器（ITPs）相结。
另一个是基于时序逻辑的高能效机器学习。
Kaiyu Yang（杨凯峪）
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杨凯峪是加州理工学院计算+数学科学（CMS）系的博士后研究员，导师是Anima Anandkumar。
他曾在普林斯顿大学获得了博士学位，导师是Jia Deng，还曾与Olga Russakovsky、陈丹琦一起工作。
他的研究重点是神经符号人工智能，旨在使机器学习能够进行符号推理，希望通过两个方向实现：
（1）将机器学习应用于符号推理任务，如形式逻辑或自然语言中的数学推理和定理证明；
（2）将符号组件引入机器学习模型，使其更具可解释性、可验证性和数据高效。
目前，他正在研究能够理解和推理数学的人工智能。数学推理是人类智能的一个重要里程碑，它有可能改变科学和工程中的许多重要问题，比如解决偏微分方程和公式验证。
Anima Anandkumar
Anima Anandkumar现在是加州理工学院计算和数学科学教授。
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她的研究兴趣主要集中在大规模机器学习、非凸优化和高维统计等领域。
特别是，她一直在带头开发和分析机器学习的张量算法。
张量分解方法具有极高的并行性和可扩展性，可应用于海量数据。它可以保证收敛到最优解，并对许多概率模型（比如Markov模型）输出一致的估计结果。
更广泛地说，Anandkumar教授一直在研究加速非凸优化的高效技术。
参考资料：
https://arxiv.org/abs/2404.12534
https://github.com/lean-dojo/LeanCopilot
https://twitter.com/AnimaAnandkumar/status/1782518528098353535